sexta-feira, 18 de novembro de 2011

A razão aurea nos lugares menos esperados.







......Aqui podemos ver a razão áurea em diversos locais diferentes.

Fibonacci sua sequencia e a razão aurea.



Considerado por muitos como um gênio do milênio, Filho da boa natureza (Livio,p112,2011.) , este é o significado do nome Fibonacci também conhecido como Leonardo de Pisa , propiciou através do problema dos coelhos a descoberta da seqüência que recebeu seu nome e que maravilha o mundo com as diversas relações com a natureza . Essa seqüência é conhecida por somar um numero ao seu antecessor obtendo um próximo numero da seqüência veja:0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 .. ou seja , 0 + 1 = 1 ; 1 +1 = 2 ; 2 +1 = 3 ; 3 +2 = 5 ; 5 + 3 = 8 ... e assim sucessivamente .

Fibonacci foi um estudioso dos números e trouxe grande contribuição à teoria dos números . Sua contribuição para a razão áurea é desafiadora, pois conscientemente conseguiu resolver problemas usando este principio e muito da literatura sobre o numero áureo aparece em seu livro Pratica de Geometria editado em 1223. No livro Liber Abaci de linguagem complexa para a maioria dos não matemáticos, aparece o problema dos coelhos.Veja abaixo a razão aurea na sequencia de Fibonacci(dividindo um n° pelo outra da sequencia)

terça-feira, 15 de novembro de 2011

Leonardo Da Vinci e a razão áurea.



Leonardo da Vinci conviveu com Pacioli e realizaram estudos sobre a razão áurea e sobre o corpo humano, Da Vinci em especial desenhou um corpo humano inscrito em um circulo e um quadrado e deu-lhe o nome de “O Homem Vitruviano” em homenagem a Vitruvius , arquiteto Romano, estudou suas obras e fez inúmeros esboços de desenhos com as proporções no corpo.Todas as suas pinturas e desenhos obdecem o padrão áureo caracteristica das obras da idade média onde os artistas utilizavam a razão áurea em suas obras até pelo aspecto religioso.Leonardo Da Vinci considerado por muitos como um gênio do milênio desenvolveu-se nas artes , engenharia , medicina , fisiologia . Escrevia seus relatos de forma invertida , sendo necessário um espelho para revelar o que estava escrito , além do fato de escrever com as duas mãos ao mesmo tempo.Vamos pesquisar mais sobre a vida deste importante cientista?

Luca Paciolli e a razão áurea

















O matemático renascentista Frei Luca Pacioli, que viveu por volta do século XIV, escreveu obras sobre matemática entre elas “ Proporção e proporcionalidade” (1494). Sua outra obra,"Proporção Divina" (1509), é a que contem, as teorias das proporções, aqueles temas que mais lhe interessavam e que ele considerava como ciência secreta: a "Divina Proporção", isto e, a "razão áurea". Tratou a geometria com um aspecto divino e ressalta as proporções áureas no corpo humano, na arquitetura e nas artes, atraindo a atenção de artistas, nobres e intelectuais.

Euclides de Alexandria e a razão áurea.


A cidade de Alexandria situava-se entre três grandes civilizações do mundo antigo(séc.III ) : a Judaica , a Egípcia e a Grega . Alexandria tornou-se o centro intelectual de extrema importância e durou por séculos. Havia uma escola formada por um corpo de professores muito competentes e entre eles estava Euclides. Sua vida particular foi rodeada de mistério e pouco se sabe sobre ele e o único feito que rompeu a barreira dos séculos foi à coleção de livros sobre matemática , chamado de “Os Elementos”. Uma coleção de treze volumes e que tratava de geometria e resolução de problemas.

A razão áurea aparece no livro II de uma maneira indireta, mas relaciona as áreas de figuras geométricas em função da “razão extrema e media”. No livro IV aparece pela segunda vez como uma definição mais clara em relação à proporção e neste mesmo livro ele apresenta a construção do Pentagrama utilizando os conceitos da razão áurea e posteriormente no livro XIII na construção do icosaedro e do dodecaedro.

quinta-feira, 10 de novembro de 2011

Construção do Pentagono estrelado

Construção do Pentagono com régua e compasso.

Primeiro trace uma circunferência com centro em O. Trace os diâmetros AOB e COD. Obtemos o ponto médio do segmento CO e o denominamos de ponto E. Em seguida com a ponta seca em O e abertura OE encontre o ponto F sobre CD..Com a ponta seca do compasso em A abrindo até F marcamos o ponto G na circunferência.Com a ponta seca em G e abertura AG, encontramos o ponto H na circunferência e em seguida I e J. .Finalmente inscrevemos o Pentágono AGHIJ na circunferência dada. Para traçarmos o Pentagrama ou estrela de cinco pontas , basta ligar as diagonais do pentágono AGHIJ.

Razão áurea e Pitágoras







Pitágoras nasceu em Samos uma cidade da Grécia antiga, por volta de 570 a.C. e morreu em Metaponto em 476 a.C., sua vida foi voltada para a matemática e filosofia e sobre ele o que se relata é um apanhado de fatos e lendas, as quais são difíceis de diferenciar. Fundou a escola Pitagórica cujo lema era "Tudo é número” sob forte influência da matemática babilônica, com sua fé nos números , acredita-se que foram os pitagóricos os pioneiros a realizar demonstrações matemáticas razoavelmente rigorosas e os primeiros a desvendarem a razão áurea através da média e extrema razão ..Uma das questões intrigantes quanto à geometria pitagórica relaciona à construção do pentagrama ou pentágono estrelado , símbolo usado pelos membros de sua sociedade secreta , no qual vamos demonstrar sua construção na próxima tópico editado, diz-se que cada membro para entrar nas reuniões devia mostrar a palma da mão direita com o pentagrama desenhado, talvez como forma de reconhecimento de seus membros. Não podemos deixar de citar também o importantissimo teorema que leva seu nome e que resolve inumeros problemas de matemática e física.

quarta-feira, 9 de novembro de 2011

A razão aurea nas pirâmides


O povo do antigo Egito deixou um legado de descobertas e desenvolvimento em diversas áreas do conhecimento e entre elas , estão as Pirâmides . Sua forma em Pentaedro sempre instigou a curiosidade por esta forma pitoresca. Muitos acreditam que as pirâmides foram construídas com base no Pi e no Fí (numero áureo), porém não se evidencia de que isso seja uma verdade ou mentira, pois apenas no papiro Ahmes é citado um determinado conhecimento sobre o calculo aproximado de Pi, mas em nenhum documento foi citado o calculo de Fí.

“Contudo , alguns egiptolos afirmam que existe de fato evidencia direta sugerindo que nem a razão áurea e nem PI foram usados no projeto da Grande pirâmide (nem mesmo involuntariamente) .Esta teoria é baseada no conceito de Seked”.(Livio,2011.p77).

Embora haja muita especulação sobre as pirâmides, pouco se pode afirmar sobre como, por que e para que foi construída, lembrando que muitos aspectos místicos eram guardados como segredo sacerdotal e os verdadeiros fatos podem não aparecer com tanta nitidez. O importante é analisarmos pelo aspecto matemático e referenciar a grande contribuição que estes povos nos deixaram como um legado de aprendizagem e aprimoramento no campo da matemática e das ciências naturais .Porém é necessário ressaltar que na pirâmide de Quéops encontramos tanto a razão áurea como o Pi e muitas outras evidencias de um conhecimento muito além de seu tempo. A figura acima mostra as supostas proporções que os egípcios usavam nos cálculos da construção das pirâmides.


terça-feira, 1 de novembro de 2011

Definição de Razão Áurea.


– DEFINIÇÃO

A noção de razão áurea vem desde os tempos dos pitagóricos (século V, a.C.), e era retratada como a divisão de um segmento em média e extrema razão. Significava dividir um segmento em duas partes, de modo que a razão entre a menor parte e a maior parte fosse igual à razão entre a maior parte e o segmento total. Portanto, dividir um segmento AB em média e extrema razão (figura abaixo) significa encontrar um ponto C, interior a AB, tal que :

CB/AC=AC/AB= Ф . Esta razão é denominada de razão áurea , ou secção áurea.

A razão áurea é uma constante real algébrica irracional simbolizada pela letra grega Φ ou φ (PHI).Este nome foi dado em homenagem ao escultor Phideas (Fídias) que viveu na cidade de Atenas por volta de 490 a.C. na Grécia antiga. O numero áureo , ou a razão áurea, instiga as pessoas pelo fato de que ele tem uma forma quase fenomenal de aparecer onde menos se espera.Esta nomenclatura para a razão áurea só ocorreu no século XX quando o matemático americano Mark Barr atribuiu o símbolo Fí para a razão áurea, anteriormente os profissionais da matemática usavam a letra Grega Tao (τ) que significa “ o corte” ou “a seção”.Os nomes mais usados atualmente para razão áurea são : seção áurea, razão áurea, número áureo e o símbolo Φ que é um número irracional e é aproximadamente dado por 1,618300988749894848204586834....