sábado, 3 de dezembro de 2011

Construção do retângulo aureo c/régua e compasso.




Construímos o quadrado ABCD , traçamos o ponto médio (M) através do segmento CD com a ponta seca do compasso em C abrindo em CD traçamos uma circunferência , fazendo o mesmo no ponto D temos a intersecção das circunferências onde traçamos uma linha vermelha tracejada determinando o ponto M.Traçamos um segmento tracejado em verde no ponto M até o ponto B , com a ponta seca do compasso no ponto M abrindo em MB traçamos uma circunferência passando por B e criando o ponto G no prolongamento de CD , traçando em vermelho o prolongamento do quadrado em B e D e fazendo o fechamento temos o segmento HG tangenciando a circunferência de raio MG , obtendo o retângulo áureo AHCG. Veja ACIMA:

O retângulo áureo possui proporcionalidade entre suas partes.E a razão entre o maior lado e o menor lado do retângulo maior , esse será igual à razão entre o menor lado e a diferença entre eles.Veja: Montando dois quadrados com lado igual a 1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Colocamos outro quadrado com lado igual a 2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A seqüência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a seqüência de Fibonacci. Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L igual a 13, de acordo com o desenho , trace quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1. Com as concordâncias dessas curvas, obtemos uma espiral como a do Náutilus marinho.

sexta-feira, 18 de novembro de 2011

A razão aurea nos lugares menos esperados.







......Aqui podemos ver a razão áurea em diversos locais diferentes.

Fibonacci sua sequencia e a razão aurea.



Considerado por muitos como um gênio do milênio, Filho da boa natureza (Livio,p112,2011.) , este é o significado do nome Fibonacci também conhecido como Leonardo de Pisa , propiciou através do problema dos coelhos a descoberta da seqüência que recebeu seu nome e que maravilha o mundo com as diversas relações com a natureza . Essa seqüência é conhecida por somar um numero ao seu antecessor obtendo um próximo numero da seqüência veja:0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 .. ou seja , 0 + 1 = 1 ; 1 +1 = 2 ; 2 +1 = 3 ; 3 +2 = 5 ; 5 + 3 = 8 ... e assim sucessivamente .

Fibonacci foi um estudioso dos números e trouxe grande contribuição à teoria dos números . Sua contribuição para a razão áurea é desafiadora, pois conscientemente conseguiu resolver problemas usando este principio e muito da literatura sobre o numero áureo aparece em seu livro Pratica de Geometria editado em 1223. No livro Liber Abaci de linguagem complexa para a maioria dos não matemáticos, aparece o problema dos coelhos.Veja abaixo a razão aurea na sequencia de Fibonacci(dividindo um n° pelo outra da sequencia)

terça-feira, 15 de novembro de 2011

Leonardo Da Vinci e a razão áurea.



Leonardo da Vinci conviveu com Pacioli e realizaram estudos sobre a razão áurea e sobre o corpo humano, Da Vinci em especial desenhou um corpo humano inscrito em um circulo e um quadrado e deu-lhe o nome de “O Homem Vitruviano” em homenagem a Vitruvius , arquiteto Romano, estudou suas obras e fez inúmeros esboços de desenhos com as proporções no corpo.Todas as suas pinturas e desenhos obdecem o padrão áureo caracteristica das obras da idade média onde os artistas utilizavam a razão áurea em suas obras até pelo aspecto religioso.Leonardo Da Vinci considerado por muitos como um gênio do milênio desenvolveu-se nas artes , engenharia , medicina , fisiologia . Escrevia seus relatos de forma invertida , sendo necessário um espelho para revelar o que estava escrito , além do fato de escrever com as duas mãos ao mesmo tempo.Vamos pesquisar mais sobre a vida deste importante cientista?

Luca Paciolli e a razão áurea

















O matemático renascentista Frei Luca Pacioli, que viveu por volta do século XIV, escreveu obras sobre matemática entre elas “ Proporção e proporcionalidade” (1494). Sua outra obra,"Proporção Divina" (1509), é a que contem, as teorias das proporções, aqueles temas que mais lhe interessavam e que ele considerava como ciência secreta: a "Divina Proporção", isto e, a "razão áurea". Tratou a geometria com um aspecto divino e ressalta as proporções áureas no corpo humano, na arquitetura e nas artes, atraindo a atenção de artistas, nobres e intelectuais.

Euclides de Alexandria e a razão áurea.


A cidade de Alexandria situava-se entre três grandes civilizações do mundo antigo(séc.III ) : a Judaica , a Egípcia e a Grega . Alexandria tornou-se o centro intelectual de extrema importância e durou por séculos. Havia uma escola formada por um corpo de professores muito competentes e entre eles estava Euclides. Sua vida particular foi rodeada de mistério e pouco se sabe sobre ele e o único feito que rompeu a barreira dos séculos foi à coleção de livros sobre matemática , chamado de “Os Elementos”. Uma coleção de treze volumes e que tratava de geometria e resolução de problemas.

A razão áurea aparece no livro II de uma maneira indireta, mas relaciona as áreas de figuras geométricas em função da “razão extrema e media”. No livro IV aparece pela segunda vez como uma definição mais clara em relação à proporção e neste mesmo livro ele apresenta a construção do Pentagrama utilizando os conceitos da razão áurea e posteriormente no livro XIII na construção do icosaedro e do dodecaedro.

quinta-feira, 10 de novembro de 2011

Construção do Pentagono estrelado

Construção do Pentagono com régua e compasso.

Primeiro trace uma circunferência com centro em O. Trace os diâmetros AOB e COD. Obtemos o ponto médio do segmento CO e o denominamos de ponto E. Em seguida com a ponta seca em O e abertura OE encontre o ponto F sobre CD..Com a ponta seca do compasso em A abrindo até F marcamos o ponto G na circunferência.Com a ponta seca em G e abertura AG, encontramos o ponto H na circunferência e em seguida I e J. .Finalmente inscrevemos o Pentágono AGHIJ na circunferência dada. Para traçarmos o Pentagrama ou estrela de cinco pontas , basta ligar as diagonais do pentágono AGHIJ.

Razão áurea e Pitágoras







Pitágoras nasceu em Samos uma cidade da Grécia antiga, por volta de 570 a.C. e morreu em Metaponto em 476 a.C., sua vida foi voltada para a matemática e filosofia e sobre ele o que se relata é um apanhado de fatos e lendas, as quais são difíceis de diferenciar. Fundou a escola Pitagórica cujo lema era "Tudo é número” sob forte influência da matemática babilônica, com sua fé nos números , acredita-se que foram os pitagóricos os pioneiros a realizar demonstrações matemáticas razoavelmente rigorosas e os primeiros a desvendarem a razão áurea através da média e extrema razão ..Uma das questões intrigantes quanto à geometria pitagórica relaciona à construção do pentagrama ou pentágono estrelado , símbolo usado pelos membros de sua sociedade secreta , no qual vamos demonstrar sua construção na próxima tópico editado, diz-se que cada membro para entrar nas reuniões devia mostrar a palma da mão direita com o pentagrama desenhado, talvez como forma de reconhecimento de seus membros. Não podemos deixar de citar também o importantissimo teorema que leva seu nome e que resolve inumeros problemas de matemática e física.

quarta-feira, 9 de novembro de 2011

A razão aurea nas pirâmides


O povo do antigo Egito deixou um legado de descobertas e desenvolvimento em diversas áreas do conhecimento e entre elas , estão as Pirâmides . Sua forma em Pentaedro sempre instigou a curiosidade por esta forma pitoresca. Muitos acreditam que as pirâmides foram construídas com base no Pi e no Fí (numero áureo), porém não se evidencia de que isso seja uma verdade ou mentira, pois apenas no papiro Ahmes é citado um determinado conhecimento sobre o calculo aproximado de Pi, mas em nenhum documento foi citado o calculo de Fí.

“Contudo , alguns egiptolos afirmam que existe de fato evidencia direta sugerindo que nem a razão áurea e nem PI foram usados no projeto da Grande pirâmide (nem mesmo involuntariamente) .Esta teoria é baseada no conceito de Seked”.(Livio,2011.p77).

Embora haja muita especulação sobre as pirâmides, pouco se pode afirmar sobre como, por que e para que foi construída, lembrando que muitos aspectos místicos eram guardados como segredo sacerdotal e os verdadeiros fatos podem não aparecer com tanta nitidez. O importante é analisarmos pelo aspecto matemático e referenciar a grande contribuição que estes povos nos deixaram como um legado de aprendizagem e aprimoramento no campo da matemática e das ciências naturais .Porém é necessário ressaltar que na pirâmide de Quéops encontramos tanto a razão áurea como o Pi e muitas outras evidencias de um conhecimento muito além de seu tempo. A figura acima mostra as supostas proporções que os egípcios usavam nos cálculos da construção das pirâmides.


terça-feira, 1 de novembro de 2011

Definição de Razão Áurea.


– DEFINIÇÃO

A noção de razão áurea vem desde os tempos dos pitagóricos (século V, a.C.), e era retratada como a divisão de um segmento em média e extrema razão. Significava dividir um segmento em duas partes, de modo que a razão entre a menor parte e a maior parte fosse igual à razão entre a maior parte e o segmento total. Portanto, dividir um segmento AB em média e extrema razão (figura abaixo) significa encontrar um ponto C, interior a AB, tal que :

CB/AC=AC/AB= Ф . Esta razão é denominada de razão áurea , ou secção áurea.

A razão áurea é uma constante real algébrica irracional simbolizada pela letra grega Φ ou φ (PHI).Este nome foi dado em homenagem ao escultor Phideas (Fídias) que viveu na cidade de Atenas por volta de 490 a.C. na Grécia antiga. O numero áureo , ou a razão áurea, instiga as pessoas pelo fato de que ele tem uma forma quase fenomenal de aparecer onde menos se espera.Esta nomenclatura para a razão áurea só ocorreu no século XX quando o matemático americano Mark Barr atribuiu o símbolo Fí para a razão áurea, anteriormente os profissionais da matemática usavam a letra Grega Tao (τ) que significa “ o corte” ou “a seção”.Os nomes mais usados atualmente para razão áurea são : seção áurea, razão áurea, número áureo e o símbolo Φ que é um número irracional e é aproximadamente dado por 1,618300988749894848204586834....


sábado, 1 de outubro de 2011

Translação vertical no plano cartesiano


A translação vertical é a movimentação de pontos com alteração no eixo Y das ordenadas sendo que os pontos na reta X permanecem os mesmos, quando falamos em Y -9 significa que vai ser deslocado nove casas abaixo , ou seja basta substituir o ponto Y de origem para obter a translação veja:
Y - 9 --> Ponto A = (-7 , 2) obtemos A1 = (-7 , 2 - 9) --> A1 = (-7, -7)

quarta-feira, 31 de agosto de 2011

Translação no plano cartesiano.


Translação significa mudar de lugar, movimentar-se .Portanto, no plano cartesiano podemos movimentar uma figura ou pontos na horizontal ,vertical ou combinando os dois(inclinado).Acima temos um exemplo de tarnslação horizontal , veja que o valor dos pontos X se alteram enquanto Y permanecem os mesmos.Lembrando que a representação de pontos cartesianos é dada (X,Y).Exemplo se A(3,2) significa que temos X=3 e Y= 2 o ponto A é o cruzamento das duas linhas.

terça-feira, 9 de agosto de 2011

Linguagem matemática

A transposição da língua portuguesa para a linguagem matemática é um dos desafios para a educação matemática, pois os alunos enfrentam grande dificuldade nesta interpretação e para isso, basta fazer uma leitura atenta e verificar a coerência da expressão obtida , veja o exemplo:
chamando de A = n° de alunos e P = n° de professores , vamos escrever uma equação que represente a seguinte afirmação: " há seis vezes mais alunos do que professores , nesta escola."
veja, é comum o aluno relatar que a equação é 6A = P , porém usando a coerencia e substituindo um valor para A , exemplo se uma classe tem 30 alunos então temos 6.30 =180 ,Portanto teriamos 180 professores o que é um absurdo . Então a equação CORRETA é P = 6.A.
Então cuidado ao desenvolverem as equações de um problema.

domingo, 26 de junho de 2011

Uso prático das expressões algébricas

Na prática, muitas vezes usamos expressões sem perceber que estamos utilizando-as ,pois as mesmas se apresentam de uma forma oculta , porém representam expressões algébricas ou numéricas, em sua forma matemática.Veja:

Numa pastelaria, quando calculamos o preço de um pastel somado ao preço de dois sucos, usamos expressões como 1p+2s, onde p representa o preço do pastel e s o preço de cada suco.

Em um cinema, ao fazermos um lanche, somamos o preço de um Bolinho de carne com o preço de um refrigerante, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do blolinho e y o preço do refrigerante.

A operação de subtração deve ser usada para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y) = T.

sexta-feira, 10 de junho de 2011

Expressões algebricas

Vocês deverão encontrar mais material sobre expressões algebricas, clicando em TAGS " expressão algébrica" ou no arquivo do blog, clicando em: Julho, Agosto e Setembro de 2010

segunda-feira, 6 de junho de 2011

Soma e subtração de expressões algébricas.

Muito alunos confundem-se com as seguintes situações:

X + X = 2.X
,pois para existir o valor de X precisa haver 1X e pode ser somado ,pois representam numeros iguais 3+3 = 2(3)

-X - X = - 2X , pois estamos juntando numeros negativos, pense se devo um real a Pedro e pego mais um real emprestado fico devendo 2 reais , portanto negativo(devedor). - (1) - (1) = -2(1)

X + Y , não podemos somar letras diferentes , pois trata-se de n° diferentes 3 + 8

As expressões algébricas são um importante instrumento da matemática, usada para resolver problemas e cálculos tanto no ensino fundamental , médio e superior.

domingo, 29 de maio de 2011

Nomes dos polinômios

4x
3xyz² monômios = 1 termo
2x²y²

4x + 1
3xy + 2xy² Binômios = 2 termos
2xy²z - xy

a²+ a +1
x + y + z Trinômio = 3 termos
2xy+ zx - zy

x³ + x² + x + 1 polinômio = vários termos


Veja, quando escrevemos 4x significa que o número(4) esta multuplicando a letra x , quatro que multiplica x,usualmente falamos quatro xis . O monômio como o próprio prefixo já o determina , mono significa um, portanto, um único termo, perceba que independe dele ter um numero e uma letra ou várias letras se multiplicando . Os sinais de + ou - e as letras diferentes vão determinar os vários tipos de polinômio. Olhe os exemplos acima , observe o que acontece, verifique as diferenças entre os vários monômios e o porque de seus nomes. A matemática se aprende com muita observação e comparação.

sexta-feira, 22 de abril de 2011

Bytes e quibibytes.

Em resposta aos diversos emails recebidos pelos alunos da EE Ondina(Santo André) , como não tenho tempo para responder a cada email separadamente , procurei responder as dúvidas que me foram postas.
Em 2005, a (IEC) Comissão Eletrotecnica Internacional criou um sistema de unidades especificas para o uso no campo das tecnologias de informação e de processamento de dados a chamada Base Binária.O computador só consegue entender os numeros zero(0) e um(1) dai o nome binário, porém você pode perguntar : como todos os dados podem ser representados por apenas dois números.Não diretamente com apenas dois mas, com o arranjo entres eles, veja, para o computador entende que a letra A é 0000, B é 0001 , C é 0010 daí dá para entender que vai longe.Os fabricantes de computadores utilizam a linguagem binária e os revendedores a linguagem decimal .
Veja , para transformar base binária:
4 mebibytes em quibibytes: Lembrando que 4 = 2^2 então 2^2.2^20/ 2^10 = 2^22/2^10 pela propriedade das potencias 2^22-10 = 2^12(dois elevado a doze)
lembre-se unidades diferentes : divide
Unidades maiores para byte : multiplica.
Bons estudos.E desculpas pela demora na resposta.Mas, também estou estudando( 2° pós) e disponho de pouco tempo.Abraços.

Como transformar os multiplos de BYTES

Fiquei imensamente honrado com os elogios dos alunos da EE Ondina (Santo André).E atendendo aos pedidos , aqui vai uma breve explicação da transformação de uma unidade para outra.Com base no S.I.(sistema internacional) a parte comercial dos computadores acabou por utilizar as potencias de base DEZ como referência, conhecido como base decimal ,Veja :
A) vamos transformar 20 megabytes em bytes, é mais ou menos como transformar Km em metros,para isso precisamos multiplicar 20 vezes o valor de 1MB(10 elevado(^) a 6) ,portanto teriamos 20 = 2.10 então 2.10¹.10^6 --> 2.10^7 (^)simbolo para elevado.
B) 1 gigabyte em quilobytes . Veja aqui esytamos passando de uma unidade para outra, daí vamos dividir uma pela outra assim: 1Gb/1Kb --> substituindo os valores da tabela pg29 ,temos 10^9/10^3 aplicando a propriedade da potencia (divisão subtrai-se os expoentes) temos: 10^9-3 = 10^6 Kb.
C) 20.terabytes em megabytes , observe que aqui também vamnos dividir, porém há uma multiplicação então :
2.10¹. 10^12 / 10^6 --> 2.10^13/10^6 = 2.10^7 Mb
Espero ter ajudado.
Abraços e bom estudos.

sábado, 16 de abril de 2011

Operações com notação cientifica.

As operações com notação cientifica utilizam as potências de base DEZ como principal recurso, lembre-se que a notação cientifica veio para facilitar a vida dos cientistas e não complicá-la,para isso, a matemática ajuda muito.Vamos verificar os exemplos acima:
A) Trata-se de uma multiplicação e para tal iremos multiplicar a parte numérica (5 x 3 = 15) e depois a parte da potência, utilizando da propriedade que diz: potências de bases iguais somam-se os expoentes, portanto temos 10 elevado a 5 que é igual a 100.000 e que multiplicado por 15 temos : 1.500.000.
B) Trata-se de uma divisão , resolvemos a parte numerica ( 40 : 4 = 10) e depois a parte da potência , a qual aplicando a propriedade , temos : divisão de potencia de bases iguais subtrai-se os expoentes, onde resulta em 10 elevado a 3 , não esquecendo que ainda temo uma multiplicação e para existir 10 ele esta elevado a 1 então resulta em 10 elevado a 4 que é igual a 10.000,
C) Aqui temo potencia de uma potencia , onde devemos multiplicar todos os expoentes.
D) Potencia de expoente negativo escrevemos como seu inverso positivo.
ESTUDEM . DEDIQUE DE 30 min. a 1h POR DIA, A MATEMÁTICA

Potências,Nanotecnologia,ângstron e n° Binários.

Olá Pessoal.
Vamos encontraram material sobre POTÊNCIAS, NANOTECNOLOGIA,ÂNGSTRON E NÚMEROS BINÁRIOS .
Clicando em ABRIL de 2010(na coluna lateral á esquerda-Arquivos do blog)

sábado, 12 de março de 2011

Geratriz de dízima periódica composta

A dízima periódica composta possui um numero diferente na parte periódica .Veja: 0,166... ; 3,14545.... Vamos calcular a geratriz da dízima 0,166.... O procedimento é o mesmo para dízima simples(postagem anterior).Sendo que no final faremos o ajuste.Veja
a) Y = 0,1666...
b) 10Y = 1,666...
c) 10Y = 1,666...
-Y = 0,166..
=============
9Y = 1,5
d) 9Y/9 = 1,5/9
e) Y = 1,5/9
f) veja que não podemos ficar com valor decimal no numerador da fração, então para arrumar isso, multiplicamos o numerador e denominador por 10 obtendo :
Y = 15/90
que simplçificando , temos:
Y = 1/6

Geratriz de uma dízimaperiodica simples.

Até o momento estudamos como obter uma dízima através de uma fração, agora, veremos como obter a fração através de uma dízima. Por exemplo , qual a fração que gera a dízima periódica simples 0,333... .Existe vários métodos adotaremos o mais adequado a sétima série (algébrico) , veja:
a) vamos chamar de Y a dízima 0,333... observe que Y passa a ser a fração que procuramos calcular.
b) Y = 0,333... (minha primeira equação)
c) agora vamos multiplicar por 10 ambos os lados da equação Y =0,333...
onde teremos --> 10Y = 3,333... (segunda equação)
d) Em seguida subtraímos a segunda equação da primeira.(para eliminarmos a parte periodica)
10Y = 3,333...
-Y = -0,333...
===========
9Y = 3
e) Vamos tirar este 9 que esta multiplicando o Y e para isso vamo dividir os dois lados da equação por 9.
9Y/9 = 3/9 --> y = 3/9
veja que é possivel simplificar 3/9
então: Y = 1/3 portanto a fração geratriz da dízima 0,333... é 1/3 (se dividir 1 por 3 teras o valor da dízima)
Obs: *Se a dízima for 0,3535... multiplicamos por 100 ; se for 0,139139 multiplicamos por 1000 e assim sucessivamente).
* Dízima simples,pois na parte periódica só temos numeros iguais veja , alguns exemplos:0,555... ; 1,666... ; 3,4545... ; 2,345345...

domingo, 6 de março de 2011

terça-feira, 1 de março de 2011

Frações que resultam em n° decimais.

Muitas frações resultam em valores decimais, ou seja , dividindo o numerador pelo seu denominador vamos obter um quociente decimal, o qual pode ser "bem comportado " como é o caso da fração 1/4 que resulta em 0,25 ,um valor que deixa resto zero (conta finita) ao contrario temos as dizimas periodicas ,as quais são geradas por frações e que resultam em decimais infinitos e periodicos .O periodo é demarcado pelos numeros repetidos ,por exemplo 0,333...periodo 1 ; 0,4747... periodo 2 e assim por diante.Podemos demonstrar que um numero é uma dizima indicando os tres pontos a sua direita (0,3...) ou colocando uma barra acima do numero que se repete . Lembrando que as frações pertencem ao conjunto numérico Q.

terça-feira, 22 de fevereiro de 2011

Conjuntos numéricos II

Podemos dizer que:
A U B (lê-se :A união com B) = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}
A(U invertido) B (lê-se: A intersecção com B) ={ 2 , 5 }

sexta-feira, 18 de fevereiro de 2011

Conjuntos numéricos

Conjunto dá a ideia de coleção.Portanto, toda a coleção de objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto.Os objetos que formam um conjunto recebe o nome de elementos e estes são indicados por letras minusculas a,b,c... e os conjuntos em si são representados pelas letras Maiusculas A,B,C.... Na figura acima, temos a representação dos conjuntos de todos os numeros .Ao longo da história o homem foi desenvolvendo a escrita dos numeros e de acordo com suas necessidades foi aprimorando seus conhecimentos matemáticos.Para isso, separou os numeros em conjuntos com caracteristicas próprias .Veja:
Conjunto dos n° naturais --> N = {0,1,2,3...}
Conjunto dos n° Inteiros --> Z = {-3, -2, -1, 0 ,1 ,2 3...}
Conjunto dos n° Racionais--> Q = {-3/2; - 1/2; -0,1; 0 ; 1/8; 1/2; 3/2...}
Conjunto dos n° Iracionais--> I = { Pí; raiz quadrada de 2 ...}
Conjuntpo dos n° Reais --> R = { -3; -3/2; 0 ;1/2;raiz quadrada de 2; 2; Pí ...}
Observe o que acontece em cada conjunto, quais suas caracteristicas .